LA CUESTIÓN DE LA NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA

“Es una generalización, bien fundada históricamente, que la última cosa en ser descubierta en cualquier ciencia es de lo que trata realmente esa ciencia” (Alfred North Whitehead)

“La matemática es la puerta y la llave de las ciencias” (Roger Bacon)

“La matemática es un puente entre los estados de conciencia relativo y trascendente” (F. Merrell-Wolff)

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El Problema
“¿Qué es la matemática? ¿Qué estudia exactamente?” Esta es una de las preguntas mas complicadas, y a la vez más fascinantes, que pueden plantearse en ciencia. La humanidad ha debatido esta cuestión desde la época de los pitagóricos como parte esencial de la búsqueda de la comprensión de la realidad.

Ha habido múltiples respuestas, algunas de ellas contradictorias. Hasta ahora no se ha encontrado una respuesta definitiva o una definición plenamente satisfactoria. ¿Pero por qué no es posible indicar claramente el objeto de la matemática como, por ejemplo, la biología (que es la ciencia que estudia los seres vivos), la física (que estudia las leyes del mundo físico) o la historia (que estudia los hechos de los seres humanos en el pasado)? ¿Por qué no es posible clarificar cual es la propiedad común de todos los entes (u objetos) matemáticos? ¿Cual es su nivel de realidad? Si se preguntara a una docena de matemáticos, probablemente obtendríamos 12 respuestas diferentes.

Además, se plantean varios problemas adicionales:

• La delimitación clara y nítida entre matemática pura y aplicada. Hardy decía que esta distinción es fundamental.
  
  
• La diferencias entre matemática e informática. Según Donald Knuth [1974],
  
  
  • La matemática está interesada en estudiar los sistemas infinitos. La informática solo trata lo finito.
    
    
  • La matemática es profunda: busca patrones, leyes, relaciones. La informática es superficial.
    
    
  • La matemática trata de relaciones estáticas. La informática trata de algoritmos, procesos o procedimientos; sus relaciones son dinámicas.
  
  
• La relación entre naturaleza de la matemática y su fundamentación. Aquií el problema es doble: 1) no conocemos la naturaleza de la matemática; 2) la matemática carece de fundamentación desde la aparición del teorema de Gödel en 1931. Pero, lógicamente, si conocemos la fundamentación de la matemática, entonces también conoceríamos su naturaleza.

La matemática −del griego mathema, “conocimiento, estudio, aprendizaje”− es una disciplina amplia y profunda, que está en permanente evolución. Es una disciplina antigua, cuyos orígenes se remontan a los sumerios, que la desarrollaron a la vez que la escritura.

Los orígenes de la matemática fueron la aritmética y la geometría, que se crearon por la necesidad de comunicar información sobre cantidad y espacio (o distancia). Pero hoy día es una disciplina muy amplia y variada, que trata todo tipo de entidades y relaciones en subdisciplinas como: álgebra, trigonometría, análisis, teoría de conjuntos, lógica, combinatoria, estadística, modelos, teoría de juegos, etc.


Algunas características y opiniones sobre la naturaleza de la matemática

• Ambigüedad.
  La matemática, por su alto nivel de abstracción, es una ciencia ambigua, difusa, porque no se refiere a nada en particular.
  
  
  • “En la medida en que las proposiciones de las matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas y en la medida en que son ciertas no se refieren a la realidad” (Einstein).
    
    
  • “En matemáticas no se entienden las cosas. Solo se acostumbra a usarlas” (John von Neumann).
    
    
  • “Un matemático es un ciego en una habitación oscura buscando un gato negro que no está ahí” (Charles Darwin).
    
    
  • “Las matemáticas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad” (Bertrand Russell).
  
  
• Abstracción.
  La matemática es una disciplina que trata de conceptos abstractos como número, conjunto, categoría, estructura, etc. No tienen realidad física pero tienen su referente en ella. La abstracción no es una propiedad exclusiva de las matemáticas, pues es la característica de toda ciencia y de la actividad mental en general. La mente funciona en base a abstracciones.
  
  
  • “La matemática es la herramienta más abstracta y poderosa de la humanidad” (Robin Robertson).
    
    
  • “Las abstracciones son el centro, sean en el estudio de la literatura o en el estudio del cerebro” (Douglas Hofstadter).
    
    
  • “La mayor certeza se halla en la mayor abstracción” (Platón).
    
    
  • “La abstracción forma parte de la realidad” (Basarab Nicolescu).
    
    
  • “Pensar es olvidar diferencias, es generalizar, abstraer” (Borges).
  
  
• A priori.
  La matemática es una ciencia a priori, es decir, previa a toda experiencia.
  
  
  • “La matemática es una creación libre, independiente de la experiencia, que se desarrolla a partir de una única intuición primordial a priori” (Luitzen Egbertus Jan Brower).
    
    
  • “No creo en las ciencias empíricas; ¡solo creo en verdades a priori!” (Gödel).
    
    
  • “El mundo ha sido construido por medio de la lógica sin apelar casi a la experiencia concreta” (Russell).
  
  
• Arquetípos.
  La matemática es una ciencia basada en arquetipos.
  
  
  • “Tenemos una conciencia directa de la forma matemática como una estructura arquetípica” (George Spencer Brown).
    
    
  • “Todo arquetipo es siempre una abstracción” (Pierre Janet).
    
    
  • “Los arquetipos son formas sin contenido” (Jung).
    
    
  • “Todas las ideas más poderosas de la historia se basan en arquetipos” (Jung).
    
    
  • “Los arquetipos toman vida solo cuando intentamos descubrir su significado” (Jung).
    
    
  • “Podemos definir el número psicológicamente como un arquetipo de orden que ha devenido consciente” (Jung).
    
    
  • “La propia ciencia está basada en arquetipos” (Carl Friedrich von Weizsacker).
  
  
• Categorías.
  La matemática es la ciencia de las categorías abstractas.
  
  
  • “La regla de oro de la matemática moderna es que la vida tiene lugar dentro −y entre− categorías” (John Baez).
    
    
  • “La teoría de categorías es el lenguaje más fundamental de la matemática” (Daniel Struppa).
    
    
  • “La teoría de categorías es la rama más general y abstracta de las matemáticas puras” (C.A.R. Hoare).
  
  
• Conceptos fundamentales.
  La matemática es un conjunto de conceptos fundamentales.
  
  
  • “Las matemáticas son, después de todo, no una colección de teoremas, sino una colección de ideas” (Paul Halmos).
    
    
  • “Todo el conocimiento humano empieza con intuiciones, sigue con conceptos y termina con ideas” (Kant).
    
    
  • “El mundo de las ideas matemáticas tiene complejidad infinita, y por lo tanto no puede ser comprensible totalmente” (Gregory Chaitin).
    
    
  • “A lo que han de reducirse las cosas es a ideas platónicas” (Gödel).
    
    
  • “La verdad última de las matemáticas se encuentra en la posibilidad que tiene el espíritu humano de construir conceptos” (Kant).
    
    
  • “No sostenemos ideas; son las ideas las que nos sostienen a nosotros” (Ortega y Gasset).
  
  
• Conciencia.
  La matemática es la ciencia de la conciencia, pues conecta mundo interior (mundo psíquico) y mundo exterior (mundo físico).
  
  
  • “La conciencia es el verdadero fundamento de todo lo que conocemos y percibimos” (Amit Goswami).
    
    
  • “La conciencia es una, no existe nada en segunda posición” (Upanishads).
    
    
  • “La conciencia es lo que crea en último término la realidad” (Amit Goswami).
    
    
  • “Todo es conciencia” (Sri Aurobindo).
    
    
  • “Una metafísica que reconoce la primacía de la conciencia es la forma más efectiva de hacer ciencia” (Amit Goswami).
    
    
  • “La conciencia es un singular para el que no hay plural” (Erwin Schrödinger).
    
    
  • “El universo entero es expresión de la conciencia” (Maharishi Mahesh Yogi).
    
    
  • “La conciencia es el fundamento de todo ser” (Amit Goswami).
    
    
  • “La conciencia es la realidad definitiva de todas las cosas” (Paul Twitchell).
  
  
• Conocimiento.
  La matemática es la base de todo conocimiento y que proporciona unidad al conocimiento.
  
  
  • “Las matemáticas son la base de todo conocimiento” (Platón).
    
    
  • “La ciencia es conocimiento organizado” (Herbert Spencer).
    
    
  • “El conocimiento es totalidad” (Hegel).
    
    
  • “El conocimiento es lingüístico” (Peirce).
    
    
  • “El conocimiento es poder” (Sir Francis Bacon).
    
    
  • “El conocimiento es siempre uno, nunca múltiple” (Paul Twitchell).
    
    
  • “El conocimiento es una interpretación de la realidad” (Bruce DePalma).
    
    
  • “El conocimiento es un fenómeno integrado; cada fragmento de conocimiento depende de todos los demás” (Roger Schank).
    
    
  • “Uno de los mayores problemas para la sociedad en general es la síntesis del conocimiento” (J. Doyne Farmer).
    
    
  • “Toda ciencia es conocimiento cierto y evidente” (Descartes).
  
  
• Creatividad.
  La matemática es la ciencia más creativa.
  
  
  • “El principio creativo de la ciencia reside en las matemáticas” (Einstein).
    
    
  • “Estoy interesado en matemáticas solo como un arte creativo” (G. H. Hardy).
    
    
  • “Las matemáticas no es un tema contemplativo, sino creativo” (G. H. Hardy).
    
    
  • “La creatividad es el descubrimiento de un nuevo significado o de un nuevo contexto de pensamiento” (Amit Goswami).
    
    
  • “El pensar matemático es, y tiene que ser, esencialmente creativo” (Emil Post).
  
  
• Definiciones.
  La matemática es la disciplina de las definiciones.
  
  
  • “Las grandes definiciones constituyen la aportación de las matemáticas al mundo. Los teoremas se toleran como un mal necesario porque desempeñan un papel de apoyo (...) para comprender las definiciones” (Gian-Carlo Rota).
    
    
  • “La ciencia se esfuerza por definir los conceptos que juzga como relevantes para comprender el mundo” (Jorge Wagensberg).
    
    
  • “La búsqueda de los conceptos y definiciones adecuadas es uno de las principales características de hacer gran matemática” (Hamming).
  
  
• Demostración.
  La matemática es la ciencia de la demostración, la ciencia que estudia la derivación de teoremas a partir de axiomas. Para los formalistas, los axiomas pueden ser arbitrarios pero tienen que ser consistentes (no contradictorios).
  
  
  • “Desde la época de los griegos, decir ‘matemáticas’ es decir ‘demostración’” (Nicolas Bourbaki).
    
    
  • “Por medio de la lógica demostramos, pero con la intuición inventamos” (Henri Poincare).
    
    
  • “Una demostración matemática debe parecer una constelación simple y bien perfilada y no un enjambre disperso por la Vía Láctea” (G.H. Hardy).
  
  
• Espiritual.
  La matemática es una ciencia espiritual o que conecta con lo espiritual.
  
  
  • “La matemática es el eslabón que enlaza a Dios con el mundo” (San Agustín).
    
    
  • “La matemática pura es religión” (Fridrich von Hardenberg).
    
    
  • “La dedicación a las matemáticas es un divino delirio del espíritu humano” (Alfred North Whitehead).
    
    
  • “La actividad matemática del hombre es una actividad espiritual” (Brower).
    
    
  • “...entonces, peldaño a peldaño, por la escala de la matemática, el alma realiza el sublime ascenso a los más elevados orbes del cielo” (Marsilio Ficino).
  
  
• Estructuras.
  La matemática es el estudio de las estructuras. La naturaleza de los objetos componentes de esas estructuras es irrelevante. Los objetos pueden ser arbitrarios e incluso no existentes. Lo importante son las relaciones.
  
  
  • “Las matemáticas son una colección de estructuras interrelacionadas con unas pocas “estructuras madre” y estructuras derivadas que son combinaciones de estas estructuras” (Nicolas Bourbaki).
    
    
  • “El mundo es comprensible racionalmente porque tiene estructura” (Platón).
    
    
  • “La estructura de la realidad y la estructura del pensamiento humano están inextricablemente simbiotizados” (Joseph Zalman Margolis).
    
    
  • “La estructura objetiva del universo y la estructura intelectual del ser humano coinciden” (Papa Benedicto XVI).
    
    
  • “La investigación científica puede considerarse entonces como un desvelo de estructuras que existen ya en nuestro interior: una especie de psicoanálisis” (René Thom).
  
  
• Eterna e inmutable.
  La matemática es la ciencia de los principios eternos e inmutables.
  
  
  • “Las leyes de la matemática no son meramente invenciones o creaciones humanas. Simplemente ‘son’: existen independientemente del intelecto humano” (Escher).
    
    
  • “Toda ciencia deriva de la convicción de Pitágoras y Platón de que nuestro diverso, y en apariencia siempre cambiante mundo, obedece en realidad a ciertas leyes unificadoras, encarnadas en formas matemáticas eternas” (Patrick Harpur).
    
    
  • “Todos los efectos de la Naturaleza son solo las consecuencias matemáticas de un pequeño número de leyes inmutables” (Laplace).
    
    
  • “Todo es uno e inmutable” (Parménides).
  
  
• Exacta.
  La matemática es una ciencia exacta.
  
  
  • “Las matemáticas representan la parte exacta del pensamiento humano” (Brower).
  
  
• Filosofía.
  La matemática es una filosofía o está ligada estrechamente a la filosofía.
  
  
  • “Sin las matemáticas no podemos penetrar en profundidad en la filosofía. Sin la filosofía no podemos penetrar en profundidad en las matemáticas. Sin ambas no podemos penetrar profundamente en nada” (Leibniz).
    
    
  • “Para mí, la matemática es la herramienta fundamental de la filosofía” (Gregory Chaitin).
    
    
  • “La filosofía forma parte de la ciencia” (Quine).
    
    
  • “Ciencia y filosofía son una misma disciplina. El intento de separarlas es un formalismo artificial y burocrático” (Jesús Mosterín).
    
    
  • “La filosofía del lenguaje es la filosofía primera” (Michael Dummett).
    
    
  • “La lógica es la esencia de la filosofía” (Russell).
    
    
  • “La filosofía está escrita en lenguaje matemático” (Galileo).
    
    
  • “Toda filosofía es crítica lingüística” (Wittgenstein).
    
    
  • “El objetivo de la filosofía es la clarificación lógica de los pensamientos” (Wittgenstein).
    
    
  • “La ciencia es filosofía práctica” (Descartes).
  
  
• Formalismo.
  La matemática es la ciencia de lo formal. Para la escuela formalista, la matemática es una ciencia de mera manipulación de símbolos de acuerdo con ciertas reglas y sin considerar el significado.
  
  
  • “La matemática es un juego jugado de acuerdo con ciertas reglas simples con marcas sin significado sobre papel” (Hilbert).
  
  
• General.
  La matemática es la ciencia de lo general.
  
  
  • “El camino de las matemáticas es siempre hacia mayor generalidad y mayor simplicidad” (Robert & Ellen Kaplan).
    
    
  • “A veces la clave para responder a un enigma matemático no es centrarse en los detalles finos, sino considerar los aspectos generales. Menos puede significar más” (Ian Stewart).
    
    
  • “Uno debe siempre generalizar” (Carl Jacobi).
    
    
  • “Toda investigación científica tiene supuestos generales, tan generales que son de índole filosófico” (Mario Bunge).
    
    
  • “Cierto es que no hay ciencia sino de lo general” (Benoît Mandelbrot).
    
    
  • “La ciencia siempre busca generalizaciones” (William Ross Ashby).
    
    
  • “Pensamos en generalidades, pero vivimos en detalles” (A.N. Whitehead).
  
  
• Humanismo.
  La matemática es una construcción humana y, por lo tanto, imperfecta.
  
  
  • “Las matemáticas son una de las actividades humanas quintaesenciales que nos hacen plenamente humanos y, con ello, nos llevan a la trascendencia” (Donald O’Shea).
    
    
  • “El matemático ha alcanzado el escalón más alto de la escalera del pensamiento humano” (Havelock Ellis).
    
    
  • “Las matemáticas son una construcción libre de la mente humana” (Brower).
    
    
  • “De acuerdo al punto de vista evolucionista, que yo defiendo, las matemáticas son una construcción humana y por lo tanto constituyen necesariamente una empresa imperfecta y revisable” (Stanislas Dehaene).
    
    
  • “Las leyes científicas y los conceptos afines no existen en el mundo sino que son creaciones de la mente humana” (Julian Huxley).
    
    
  • “Los seres humanos son el punto de reunión de todas las posibles disciplinas científicas” (Robert W. Godwin).
    
    
  • “La ciencia es un juego libre de la inteligencia humana, una invención” (Einstein).
    
    
  • “La teoría, el pensamiento humano, no descubre el universo, sino que lo construye” (Ortega y Gasset).
    
    
  • “La mente humana tiene primero que construir formas, independientemente, antes de que podamos encontrarlas en las cosas” (Einstein).
  
  
• Imaginación.
  La matemática es la ciencia de la imaginación o de lo imaginario.
  
  
  • “La matemática es la lógica de la imaginación” (Leibniz).
    
    
  • “Tanto los números reales como los imaginarios son igualmente productos de la imaginación humana” (Ian Stewart).
    
    
  • “La ciencia puede poner límites al conocimiento, pero no debería poner límites a la imaginación” (Bertrand Russell).
    
    
  • “Lo que ahora es demostrado fue una vez imaginado” (William Blake).
    
    
  • “La imaginación lo es todo” (Einstein).
    
    
  • “No es la voluntad, sino el poder de la imaginación lo que gobierna nuestras acciones de este universo” (Paul Twitchell).
    
    
  • “La imaginación es más importante que el conocimiento. El conocimiento es limitado. La imaginación engloba al mundo” (Einstein).
    
    
  • “Lo que necesitamos es imaginación. Hemos de descubrir una nueva visión del mundo” (Richard Feynman).
    
    
  • “Imaginar un lenguaje es imaginar una forma de vida” (Wittgenstein).
  
  
• Infinito.
  La matemática es la ciencia del infinito. Para muchos matemáticos esta es su característica más destacada.
  
  
  • “La matemática es la ciencia del infinito” (Hermann Weyl).
    
    
  • “El concepto de infinito, aunque no impuesto por nosotros por lógica o por experiencia, es una necesidad matemática” (Tobias Dantzig).
    
    
  • “Es imposible hacer nada en matemáticas, ni siquiera en la aritmética más elemental, sin referirse implícitamente al infinito” (Rebeca Goldstein).
    
    
  • “El infinito no es más que un giro peculiar dado a la generalidad” (Charles Sanders Peirce).
    
    
  • “Hay infinitos tipos de infinito” (Cantor).
  
  
• Intuición.
  La matemática se basa en la intuición. El conocimiento de las entidades matemáticas es innato.
  
  
  • “El objeto del rigor matemático es sancionar y legitimar la conquista de la intuición, y no hay otro objeto para ello” (Hadamard).
    
    
  • “La intuición es la fuente del conocimiento científico” (Aristóteles).
    
    
  • “La intuición, y no la razón, atesora la clave de las verdades fundamentales” (Buda).
    
    
  • “La realidad última es un impulso vital comprensible solo por la intuición” (Bergson).
    
    
  • “Yo pongo mi fe en la intuición” (Einstein).
    
    
  • “Hilbert estaba equivocado y Poincaré tenía razón: la intuición no se puede eliminar de las matemáticas” (Gregory Chaitin).
    
    
  • “Estoy definitivamente al lado de la intuición” (Gregory Chaitin).
    
    
  • “La intuición es la clara concepción de todo a la vez” (Johann Lavater).
    
    
  • “Los números se fundamentan sobre algo más que la lógica: su poder creativo reside en esa cosa elusiva e intangible que se llama intuición” (Tobias Dantzig).
    
    
  • “No veo ninguna razón por la que deberíamos tener menos confianza en esta clase de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensible” (Gödel).
  
  
• Lenguaje.
  La matemática es un lenguaje abstracto.
  
  
  • “La matemática es un lenguaje” (Joseph Willard Gibbs).
    
    
  • “El universo no se puede leer hasta que hayamos aprendido el lenguaje y nos familiaricemos con los caracteres con los que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin los cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra” (Galileo).
    
    
  • “Las matemáticas no son un auténtico lenguaje capaz de expresar pensamientos, sino más bien la sintaxis lógica del lenguaje” (Carnap).
    
    
  • “La razón es el lenguaje” (Johann Georg Hamann).
    
    
  • “El lenguaje es la esencia del ser humano” (Hans-Georg Gadamer).
    
    
  • “La estructura de lenguaje puede servir verdaderamente como un espejo de la mente en sus aspectos universal y particular” (Chomsky).
  
  
• Lenguaje ideal.
  La matemática es un lenguaje ideal.
  
  
  • “El lenguaje ideal es una idealización de nuestro lenguaje natural” (Gustav Bermann).
    
    
  • “El lenguaje ideal es un esquema sintáctico interpretado” (Gustav Bergmann).
    
    
  • “Todo lenguaje ideal debe basarse en el concepto de ‘expresión’, una representación de signos y símbolos” (Alfred North Whitehead)
  
  
• Lenguaje universal.
  La matemática es un lenguaje universal, un lenguaje interdisciplinario (pues todas las ciencias requieren matemáticas) y transdisplinario (porque trasciende a las ciencias particulares).
  
  
  • “La matemática es indiscutiblemente el único lenguaje universal” (Alain Connes).
    
    
  • “Las matemáticas es el auténtico lenguaje en el que está escrito el universo, la llave para entender el mundo que nos rodea” (Marcus du Sautoy).
  
  
• Libertad.
  La matemática es la ciencia de la libertad.
  
  
  • “La esencia de la matemática reside en su completa libertad” (Cantor).
    
    
  • “En el pensamiento es donde reside la libertad” (Hegel).
    
    
  • “El universo está basado en la libertad. Las leyes, restricciones sobre la libertad, son secundarias” (Arthur M. Young).
  
  
• Lógica ⊃ Matemática. La matemática es una rama de la lógica. La lógica engloba a la matemática porque la lógica está presente en todo, incluyendo la ciencia y la filosofía. Está presente en todo discurso y acción de tipo racional. Este es el punto de vista de la escuela logicista, cuyos principales representantes fueron Frege, Whitehead y Russell.
  
  
  • “Las matemáticas son la estética de la razón” (José Antonio Marina).
    
    
  • “La lógica es la ciencia de las ideas puras” (Hegel).
    
    
  • “La lógica es trascendental” (Wittgenstein).
    
    
  • “La lógica nació como un intento de mecanizar los procesos intelectivos del razonamiento (Douglas Hofstadter).
  
  
• Lógica ⊂ Matemática.
  La lógica forma parte de la matemática.
  
  
  • “La lógica no tiene existencia independiente de las matemáticas: es solo una fase de esta necesidad multifaseada que llamamos matemáticas” (Tobias Dantzig).
  
  
• Lógica = Matemática.
  Lógica y matemática son la misma cosa. La lógica es el lenguaje de la matemática. La lógica se ha matematizado creándose la “lógica matemática” y la matemática utiliza este lenguaje para formalizarse, de tal manera que lógica y matemática se han fusionado y no pueden separarse.
  
  
  • “La matemática es una ciencia puramente formal y es idéntica a la lógica” (Paul Cohen).
  
  
• Mental.
  La matemática es la ciencia que estudia los entes y las leyes mentales. Para la escuela intuicionista, el objetivo último de la matemática es descubrir las leyes de la mente humana.
  
  
  • “La matemática es el estudio de los objetos mentales con propiedades reproducibles” (P. Davis & R. Hersh).
    
    
  • “Tal vez su tarea [la de la matemática] podía ser representada mejor como la investigación de la mente; de la mente, no de las mentes” (Frege).
    
    
  • “Todo es mental” (Berkeley).
    
    
  • “La sustancia del mundo es mental” (Arthur S. Eddington).
    
    
  • “Todos han estado buscando algún conjunto mínimo de principios básicos, alguna colección muy reducida de ideas asombrosamente poderosas que, solo por sí mismas, puedan explicar como funciona la mente” (Marvin Minsky).
  
  
• Metafísica.
  La matemática trasciende el mundo físico. Es metafísica y trascendente. Los entes matemáticos pertenecen a un reino superior, existen independientemente de los humanos, son objetivos y se descubren. Es el denominado platonismo o realismo matemático.
  
  
  • “Nuestros cerebros construyen matemáticamente la realidad objetiva interpretando frecuencias que son proyecciones de otra dimensión de un orden más profundo de existencia más allá del espacio y el tiempo” (Karl Pribram).
    
    
  • “La matemática es un puente entre los estados de conciencia relativo y trascendente” (Franklin Merrell-Wolff).
    
    
  • “La matemática es la única buena metafísica” (William Thomson, Barón Kelvin).
    
    
  • “La matemática no es un fin en sí mismo, sin una clave a un mundo más allá del alcance de la descripción ordinaria” (George Spencer Brown).
    
    
  • “Con la matemática se consigue una trascendencia desde un estado dado de visión a una nueva visión más allá de la apariencia”. (Geoge Spencer Brown).
    
    
  • “La matemática y la metafísica conviven una al lado de la otra” (Ramanujan).
    
    
  • “El objetivo de las matemáticas es hacer visible lo invisible” (Keith Devlin).
    
    
  • “Tanto la ciencia de los números como la geometría llevan al alma al conocimiento puro y la conducen a la contemplación del ser” (Platón).
  
  
• Necesidad.
  La matemática es la ciencia de lo necesario: los conceptos necesarios, las relaciones necesarias y las conclusiones necesarias, todo lo que es común a todos los campos.
  
  
  • “La matemática nos conduce a la región de la necesidad absoluta, a la que debe ajustarse no solo el mundo real, sino todo mundo posible” (Bertrand Russell).
    
    
  • “La matemática es la ciencia que señala las conclusiones necesarias” (Peirce).
  
  
• Números.
  La matemática es la ciencia de los números.
  
  
  • “Las cifras constituyen el único y auténtico lenguaje universal” (Georges Ifrah).
    
    
  • “Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de números (la aritmética) es la reina de las matemáticas” (Gauss).
    
    
  • “Los números gobiernan el universo” (Pitágoras).
    
    
  • “Los números son el grado más alto de conocimiento. Es el conocimiento mismo” (Platón).
    
    
  • “Los números proceden de la unidad” (Aristóteles).
  
  
• Orden.
  La matemática es la ciencia del orden.
  
  
  • “La matemática revela orden y ley donde la mera observación muestra caos” (Morris Kline).
    
    
  • “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles” (Descartes).
    
    
  • “El objetivo principal de todas las investigaciones del mundo externo debería ser descubrir el orden racional y armonía que han sido impuestos en él por Dios y que Él nos ha revelado en el lenguaje de las matemáticas” (Kepler).
  
  
• Patrones.
  La matemática es la ciencia que busca y formaliza patrones generales, que nos ayudan a entender el mundo y para resolver problemas.
  
  
  • “La matemática es la ciencia de los patrones... patrones de contar, patrones de razonamiento y comunicación, patrones de movimiento y cambio, patrones de forma, patrones de simetría y regularidad,y patrones de posición” (Keith Devlin).
    
    
  • “El universo no está hecho de ‘cosas’, sino de patrones de geometrías interactivas complejas” (Christopher Alexander).
    
    
  • “La razón solo puede penetrar en aquello que produce según pautas que le son propias” (Kant).
  
  
• Pensamiento puro.
  La matemática es pensamiento puro.
  
  
  • “La forma suprema del pensamiento puro está en las matemáticas” (Platón).
    
    
  • “El problema de las palabras es que poseen contenido, mientras que el propósito de las matemáticas es construir formas puras de pensamiento” (Tobias Dantzig)
  
  
• Posibilidad.
  La matemática es la ciencia de lo posible, a nivel mental o de la imaginación.
  
  
  • “La categoría fundamental para la interpretación de la realidad no es la necesidad, sino la posibilidad. Todo lo que existe es una posibilidad que se ha realizado” (Leibniz).
  
  
• Principios.
  La matemática es un conjunto finito de principios básicos y sus combinaciones.
  
  
  • “La matemática es un sistema estable autocontenido de principios básicos” (Karlis Podnieks).
    
    
  • “La sabiduría consiste en la investigación de las primeras causas o principios” (Descartes).
    
    
  • “Los principios no se muestran, sino que se percibe directamente su verdad” (Aristóteles).
    
    
  • “Más y más fenómenos aparentemente diversos se explican mediante menos y menos principios subyacentes” (John C. Taylor).
    
    
  • “El número de leyes fundamentales que gobiernan todos los procesos, tanto en el mundo como en el hombre, es muy pequeño” (Gurdjieff).
  
  
• Problemas.
  La matemática es la ciencia que resuelve (o intenta resolver) problemas.
  
  
  • “El corazón de las matemáticas no son los objetos matemáticos sino los problemas” (Paul Halmos).
    
    
  • “Las matemáticas son una lengua universal para estudiar problemas” (Sir Michael Atiyah).
    
    
  • “Cada problema que he resuelto se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas” (Descartes).
    
    
  • “Toda solución a un problema crea nuevos problemas por resolver” (Karl Popper).
    
    
  • “El triunfo de las matemáticas no consiste en resolver problemas, sino en trivializarlos. El instante de gloria llega con el descubrimiento de una teoría nueva que, sin resolver ninguno de los viejos problemas, los convierte en irrelevantes” (Gian-Carlo Rota).
  
  
• Procesos.
  La matemática es la ciencia que estudia los procesos.
  
  
  • “Las matemáticas no es sobre respuestas, es sobre procesos” (Robert H. Lewis).
    
    
  • “El universo se nos aparece, no como una colección de cosas, sino como un conjunto interactuante de procesos sucesivos” (Karl Popper).
    
    
  • “La realidad es un proceso construido por eventos. Los eventos solo se pueden definir en relación con otros eventos” (A.N. Whitehead).
  
  
• Relaciones.
  La matemática es la ciencia de las relaciones.
  
  
  • “La matemática es la relación de relaciones” (John von Neumann).
    
    
  • “Necesitamos unas matemáticas gestálticas, en las cuales lo fundamental no sea la noción de cantidad, sino la de relación” (Ludwig von Bertalanffy).
    
    
  • “El mundo es un sistema de relaciones significantes” (Berkeley).
    
    
  • “Los matemáticos no estudian objetos sino las relaciones entre objetos. La materia no atrae su atención; solo están interesados en la forma” (Henri Poincaré).
    
    
  • “La ciencia es un sistema de relaciones” (Henri Poincaré).
  
  
• Significación.
  La matemática es la ciencia del significado de las formas o patrones.
  
  
  • “La matemática es la ciencia de la forma significante en la forma última y transparente de todo conocimiento humano” (Felix Browder).
    
    
  • “Si lo particular tiene un significado, ha de ser universal” (Platón).
    
    
  • “Todos los significados vienen de analogías” (Douglas Hofstadter).
    
    
  • “La verdadera esencia de la lingüística es la búsqueda del significado” (Benjamin Lee Whorf).
    
    
  • “No existen hechos, solo interpretaciones” (Nietzsche).
    
    
  • “La realidad es una totalidad de significado activo” (David Bohm).
    
    
  • “Estamos condenados al significado” (Maurice Merleau-Ponty).
    
    
  • “Hay un significado que debe ser descubierto considerando el mundo en su totalidad” (Ervin Laszlo).
  
  
• Símbolos.
  La matemática es un lenguaje de símbolos.
  
  
  • “Las matemáticas en sí consisten en símbolos a los que la mente da significado” (Amit Goswami).
    
    
  • “En el símbolo se esconde la revelación” (Thomas Carlyle).
    
    
  • “El símbolo es la expresión primitiva del inconsciente” (Jung).
    
    
  • “El verdadero lenguaje del mundo es el de los símbolos” (René Guénon).
    
    
  • “El poder de un símbolo reside en la idea condensada tras él” (George Spencer Brown).
    
    
  • “El símbolo tiene un significado que transciende al objeto simbolizado: es por eso que no es una mera formalidad” (Tobias Dantzig).
  
  
• Simplicidad.
  La matemática es la ciencia de la simplicidad oculta tras las estructuras, procesos y fenómenos aparentemente complejos.
  
  
  • “La Naturaleza es la realización de las ideas matemáticas más simples” (Einstein).
    
    
  • “Si la matemática no tuviera estructura, si no poseyera maravillosa simplicidad, no merecería ser estudiada” (Marcus du Sautoy).
    
    
  • “Toda la naturaleza está gobernada por leyes matemáticas de gran simplicidad y elegancia". (C.A.R. Hoare).
    
    
  • “La naturaleza no puede ser complicada. Hay que buscar la fuente de la verdad en la simplicidad matemática” (Einstein).
    
    
  • “El orden de nuestros pensamientos ha de ir siempre de lo más simple a lo más compuesto” (Descartes).
    
    
  • “La ciencia es la forma más simple y comprimida de comprender la realidad” (Jorge Wagensberg).
    
    
  • “Por gran idea entiendo un concepto simple de alcance inmenso, una idea seminal que crece hasta convertirse en un gran roble cuyas ramas serían sus muchas aplicaciones” (Peter Atkins).
    
    
  • “Los descubrimientos más fundamentales e importantes proceden de conceptos muy simples” (David Lister Grimsby).
    
    
  • “Los componentes primitivos se deben tomar tan simples como sea posible si se ha de producir orden y claridad” (Frege).
    
    
  • “El todo es más simple que sus partes” (Willard Gibbs).
    
    
  • “Todas las grandes nociones tienen que ser simples” (Goethe).
    
    
  • “A la naturaleza le agrada la simplicidad” (Newton).
    
    
  • “Cuanto más simple es una teoría, mayor es su valor” (Bertrand Russell).
    
    
  • “La ciencia puede definirse como el arte de la supersimplificación sistemática” (Karl Popper).
    
    
  • “En la profundidad más profunda se halla lo más simple” (Ken Wilber).
    
    
  • “En el futuro, como en el pasado, las grandes ideas serán las ideas simplificadoras”. (André Weil).
    
    
  • “El papel del conocimiento es explicar lo visible complejo por lo invisible simple” (Jean Perrin).
  
  
• Tautología.
  Los enunciados matemáticos son tautologías. Son enunciados evidentes, obvios o redundantes.
  
  El término “tautología” −que proviene del griego y significa “decir lo mismo”− fue introducido en el Tractatus por Wittgenstein para designar el límite inferior del significado, un enunciado que no aportaba contendido alguno, pero que permitía delimitar los enunciados con sentido y los absurdos. Hoy día, se considera que una tautología es un enunciado que es verdadero en todos los mundos posibles y cuya verdad reside en su mera forma, es decir, en su propia estructura interna, sin referencia alguna a ningún mundo externo particular.
  
  Para Kant, los enunciados analíticos (los enunciados cuyo significado solo es función de sus términos componentes) son puras tautologías porque no nos dicen nada sobre el mundo ni aportan conocimiento (p.e. “Los solteros son los no casados”). En cambio, los enunciados sintéticos son los que hacen referencia al mundo y aportan conocimiento (p.e. “Está lloviendo”).
  
  
  • “Las tautologías y las contradicciones no son sin embargo absurdas. Son parte del simbolismo, al igual que ‘0’ es parte del simbolismo de la aritmética” (Wittgenstein, Tractatus 4.4611).
    
    
  • “Las tautologías y las contradicciones no son imágenes de la realidad” (Wittgenstein, Tractatus 4.462).
    
    
  • “Toda la matemática no es más que una gran tautología” (Fernando Sánchez Dragó).
    
    
  • “La matemática es la ciencia de lo que es claro por sí mismo” (Carl Jacobi).
  
  
• Universal.
  La matemática es la ciencia de las ciencias, la metaciencia, la ciencia que trasciende todas las ciencias, la ciencia universal. Es una teoría de los universales. Es la ciencia que relaciona lo universal con lo particular.
  
  
  • “La matemática es llave y puerta a la ciencia” (Roger Bacon).
    
    
  • “Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática” (Henri Poincaré).
    
    
  • “Una doctrina contiene tanta ciencia como las matemáticas que aplica” (Kant).
    
    
  • “La matemática es la teoría de los universales” (John Bigelow).
    
    
  • “La ciencia consiste en lo universal” (Platón).
    
    
  • “Lo que percibimos por los sentidos es necesariamente particular, mientras que la ciencia consiste en reconocimiento de lo universal” (Aristóteles).
    
    
  • “Los principios más generales y universales son los axiomas que se aplican a todas las ciencias” (Aristóteles).
    
    
  • “Las matemáticas tienen una universalidad que trasciende las fronteras culturales e históricas” (Marcus du Sautoy).
    
    
  • “Si lo particular tiene un significado, ha de ser universal” (Platón).
    
    
  • “Lo universal procede de la mente” (Kant).
    
    
  • “Los hechos no están aislados, sino que pertenecen a un factor universal existente por toda la eternidad” (Jung).
    
    
  • “El mundo de los universales, por lo tanto, se puede describir como el mundo del ser” (Bertrand Russell).
    
    
  • “Si existe un principio, éste existe universalmente” (Paul Twitchell).
  
  
• Verdad.
  La matemática es la ciencia de la verdad, la que distingue lo verdadero de lo falso.
  
  
  • “La matemática es considerada como la más cierta de todas las ciencias” (Gerhard Gentzen).
    
    
  • “Las verdades matemáticas serían verdaderas en cualquier universo” (Gregory Chaitin).
    
    
  • “La matemática es, creo yo, la fuente principal de la creencia en la eterna y exacta verdad, así como en un mundo sensible inteligible” (Bertrand Russell).
    
    
  • “Simplex sigillum veri” (La simplicidad es el sello de la verdad). Auditorio de física de la Universidad de Götinga.
    
    
  • “La verdad siempre se halla en la simplicidad, y no en la multiplicidad y confusión de las cosas” (Newton).
    
    
  • “La matemática necesita una definición de verdad” (Hilbert).

MENTAL y la Naturaleza de la Matemática
El hecho de que no exista una definición plenamente aceptada de lo que es la matemática y de que ofrezca tantos aspectos y visiones diferentes implica que nos encontramos con algo verdaderamente profundo, pues cuanto más profundo es algo mayores manifestaciones ofrece o presenta. Así que la respuesta a “¿Qué es la matemática?” debe ser necesariamente algo profundo. Nos encontramos en la misma situación que con los problemas de definir la conciencia, la información, la verdad, la semántica y el sentido común.

La matemática tiene una característica distintiva: no es una ciencia más, no es una ciencia como otra cualquiera. Según Gauss, la matemática es la reina de las ciencias. Las ciencias tradicionales son superficiales, tratan de la realidad externa. La matemática es una ciencia-filosofía profunda, que trata de la realidad común a mundo interno (mental) y mundo externo (físico). Esto explica que hasta ahora la matemática no haya podido definirse con precisión.

La matemática no se puede definir de forma superficial porque hacerlo sería limitarla. La matemática está evolucionando continuamente y podría ser que desbordara en un cierto momento una definición. Muchos conceptos y definiciones se quedan obsoletos por la evolución de la matemática. Se necesita una definición de tipo filosófico, profunda y genérica. Pero toda definición formal implica lo superficial, por lo que debemos definirla mediante enfoques generalistas o universales. Sin embargo, podemos aproximarnos a través de sus diferentes aspectos.

Esta es la definición que proponemos de la naturaleza de la matemática:

La matemática es la ciencia que estudia las relaciones particulares y generales entre los arquetipos primarios, los arquetipos de la conciencia, independientemente de que puedan tener una interpretación o correspondencia en otros campos, como la geometría y la física.

MENTAL se fundamenta en lo profundo e intuitivo, que se manifiesta en lo superficial y racional. En general, une los opuestos, los dos modos de conciencia (del hemisferio izquierdo y del hemisferio derecho).

Desde el paradigma MENTAL, como lenguaje formal universal basada en arquetipos primarios y su combinatoria, todos los aspectos mencionados anteriormente convergen o confluyen, relacionándose entre sí, aclarando al mismo tiempo sus aspectos:

• Ambigüedad.
  MENTAL no es ambigua, aunque puede parecerlo porque no hace referencia a ningún objeto concreto del mundo real. Su semántica es precisa a la vez que general.
  
  
• Abstracción.
  MENTAL no es una abstracción del mundo real, porque eso implicaría ir desde lo superficial (o particular) a lo profundo (o universal). El camino es el inverso: la realidad es una manifestación de lo universal. Es el principio de causalidad descendente que va desde lo abstracto a lo concreto.
  
  
• A priori.
  Las primitivas de MENTAL son conceptos a priori.
  
  
• Arquetipos.
  Las primitivas de MENTAL son arquetipos primarios, arquetipos de la conciencia.
  
  
• Categorías.
  Las primitivas de MENTAL son categorías de tipo filosófico estructuradas como lenguaje formal.
  
  
• Conceptos e ideas.
  Las primitivas de MENTAL son conceptos universales con los cuales se pueden construir expresiones que reflejen ideas.
  
  
• Conciencia.
  MENTAL es un lenguaje de la conciencia, pues se fundamenta en los arquetipos primarios. Los arquetipos primarios conectan los opuestos: mundo interno y mundo externo, sujeto y objeto, lo universal y lo particular.
  
  
• Conocimiento.
  MENTAL es el fundamento de todo conocimiento y el unificador del conocimiento.
  
  
• Creatividad.
  MENTAL es un lenguaje de suprema creatividad porque permite relacionar conceptos profundos. Cuanto más profundos son los conceptos a combinar, mayor es la creatividad.
  
  
• Definiciones.
  MENTAL permite definir todo tipo de entidades: funciones, conjuntos, categorías, etc.
  
  
• Demostraciones.
  MENTAL realiza inferencias automáticas.
  
  
• Espiritual.
  MENTAL es un lenguaje para-espiritual pues es un lenguaje trascendente.
  
  
• Estructuras.
  MENTAL permite definir y construir todo tipo de estructuras.
  
  
• Eterna e inmutable.
  Los principios de MENTAL son eternos e inmutables.
  
  
• Exacta.
  MENTAL permite construir expresiones exactas, pero también difusas.
  
  
• Filosofía.
  MENTAL es un lenguaje filosófico, pues las primitivas son categorías filosóficas. Se habla de la filosofía de las matemáticas, de una filosofía a posteriori, cuando debería ser una filosofía a priori, una filosofía que conecte todo desde lo profundo y desde ahí construir todo el edificio matemático.
  
  
• Formal.
  MENTAL es un lenguaje formal, con sintaxis y semántica definidas.
  
  
• General.
  MENTAL es un lenguaje genérico y universal. También pueden especificarse expresiones genéricas.
  
  
• Humanista.
  MENTAL es un lenguaje humanista pues las primitivas son simples y próximas al pensamiento humano.
  
  
• Imaginación.
  MENTAL es un lenguaje mental. La imaginación está implícita porque está presente en todo pensamiento. La imaginación va ligada a la conciencia y a la libertad.
  
  
• Infinito.
  MENTAL contempla el infinito, pues es definible (expresable) mediante una expresión descriptiva.
  
  
• Intuición.
  Las primitivas de MENTAL son conceptos primarios e intuitivos.
  
  
• Lenguaje.
  MENTAL es un lenguaje ideal y universal.
  
  
• Libertad.
  Las primitivas de MENTAL se pueden combinar sin restricciones.
  
  
• Lógica.
  Con MENTAL se aclara el tema de la distinción entre lógica y matemática: la lógica está representada por un arquetipo primario (Condición). La lógica no es suficiente para construir la matemática, pues necesita de los otros arquetipos primarios.
  
  
• Mental.
  MENTAL es un lenguaje mental y un modelo de la mente.
  
  
• Metafísica y trascendencia.
  MENTAL trasciende el mundo físico. Es un lenguaje transdisciplinario.
  
  
• Necesidad.
  Las primitivas de MENTAL son necesarias. Existen forzosamente en todos los mundos posibles.
  
  
• Números.
  MENTAL incluye el concepto de número. El número es solo una dimensión de la realidad. Es un arquetipo primario, pero hay más. Decir que la matemática es la ciencia de los números es como decir que la zoología es el estudio de los vertebrados.
  
  
• Orden.
  MENTAL pone orden en el amplio, difuso y disperso panorama de la matemática al fundamentarse en los arquetipos primarios.
  
  
• Patrones.
  MENTAL se basa en patrones semánticos, que son las primitivas semánticas. También permite construir patrones mediante expresiones genéricas.
  
  
• Pensamiento puro.
  Las primitivas de MENTAL se pueden considerar pensamientos puros, porque están ligadas a la conciencia, no estando ligadas a nada particular.
  
  
• Posibilidad.
  MENTAL es la Carta Magna de los mundos posibles.
  
  
• Principios.
  Los principios de MENTAL son un conjunto finito de 12 axiomas semánticos.
  
  
• Problemas.
  MENTAL se puede aplicar para resolver problemas. Como las primitivas son profundas, los problemas se resuelven con mayor facilidad.
  
  
• Procesos.
  MENTAL permite especificar procesos. Además, toda expresión de MENTAL se evalúa, lo que implica siempre un proceso potencial.
  
  
• Relaciones.
  MENTAL es un lenguaje de relaciones. Aquí remitimos a la definición que hemos dado de matemática.
  
  
• Significación.
  Las primitivas de MENTAL son semánticas. Toda expresión de MENTAL refleja la semántica.
  
  
• Símbolos.
  Se afirma que la matemática es independiente de su representación, de los símbolos utilizados, siempre que los símbolos estén bien definidos. Lo que ocurre es que la representación más eficiente se convierte en estándar, en el canon aceptado. La notación de MENTAL es la más eficiente porque es la más profunda, al basarse en arquetipos primarios.
  
  
• Simplicidad.
  MENTAL es un lenguaje de suprema simplicidad. Es una paradoja, pero “el todo es más simple que sus partes”, como decía Willard Gibbs.
  
  
• Tautología.
  MENTAL conecta el mundo profundo con el mundo superficial. En MENTAL nada hay que sea tautología, pues todo es conocimiento, desde los axiomas semánticos hasta sus manifestaciones.
  
  
• Universal.
  MENTAL es un lenguaje universal que se fundamenta en principios universales.
  
  
• Verdad.
  La verdad en MENTAL no hace referencia al mundo externo. Son relaciones entre expresiones que son independientes de los posibles valores de las variables o parámetros.
  
  Además, hay que considerar los aspectos siguientes:
  
  
• Matemática pura vs. matemática aplicada.
  Con MENTAL se distingue claramente entre matemática pura y aplicada. La matemática pura se refiere al estudio de las relaciones entre los arquetipos primarios, independientemente del mundo real. La matemática aplicada es la aplicación de MENTAL a problemas concretos.
  
  
• Matemática vs. informática.
  Se aclara la diferencia entre matemática e informática. La matemática estudia las relaciones entre los arquetipos primarios; es centrípeta, busca la unidad y la máxima compresión conceptual. En cambio, la informática es equivalente a la matemática aplicada; es centrífuga; aplica la matemática pura en diversidad de aplicaciones, principalmente procesos.
  
  
• Naturaleza de la matemática y su fundamentación.
  Con MENTAL, la naturaleza de la matemática está claramente ligada a su fundamentación: los arquetipos de la conciencia.

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Adenda
Un libro clásico

El libro de Richard Courant y Herbert Robbins “Qué son las matemáticas?” publicado por el Fondo de Cultura Económica es una revisión del clásico publicado en 1941 por Oxford University Press (Inglaterra). Incluye un capítulo adicional sobre los avances más recientes en matemáticas, escrito por el editor (Ian Stewart).


Bibliografía

• Aleksandrov, A.D.; Kolmov, A.N.; Laurent'ev, M.A. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning. Dover, 1999.
  
  
• Bigelow, John. The Reality of Numbers. Oxford University Press, 1988.
  
  
• Bourbaki, Nicolas. The Architecture of Mathematics. American Mathematical Monthly 57, pp. 221-232, 1950.
  
  
• Browder, Felix. The Relevance of Mathematics. American Mathematical Monthly 83, pp. 249-254, 1976.
  
  
• Cohen, Morris. Reason and Nature. Hacourt Brace, 1931.
  
  
• Corfield, David. Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.
  
  
• Courant, Richard. Robbins, Herbert. ¿Qué son las matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. Fondo de Cultura Económica, 2003.
  
  
• Davis, Philip; Hersh, Reuben. The Mathematical Experience. Birkhauser, 1981.
  
  
• Devlin, Keith. Mathematics: The New Golden Age. Penguin Books, 1988.
  
  
• Devlin, Keith. El lenguaje de las matemáticas. Ma Non Troppo, 2003.
  
  
• Dieudonné, J.A. The Works of Nicolas Bourbaki. American Mathematical Monthly 77, pp. 134-145, 1970.
  
  
• Dummet, Michael. What is Mathematics About? Mathematics and Mind. Alexander George (ed). Oxford University Press, pp. 11-26, 1994.
  
  
• Halmos, Paul. The Heart of Mathematics. American Mathematical Monthly 87, pp. 519-524, 1980.
  
  
• Halmos, Paul. Has Progress in Mathematics Slowed Down?. American Mathematical Monthly 97, pp. 561-588, 1990.
  
  
• Hardy, G.H. Apología de un Matemático. Nivola, 1999.
  
  
• Hersh, Reuben; John Steiner, Vera. Matemáticas. Una historia de amor y odio. Crítica, 2012.
  
  
• Hersh, Reuben. What is Mathematics, Really? Oxford University Press (USA), 1999.
  
  
• Kline, Morris. Introduction to Mathematics: An Introduction to its Spirit and Use. W.H. Freeman, 1979.
  
  
• Knuth, Donald. Algorithmic Thinking and Mathematical Thinking. American Mathematical Monthly 92, pp. 170-181, 1985.
  
  
• Knuth, Donald. Computer Science and its Relations to Mathematics. American Mathematical Monthly 81, pp. 323-343, 1974.
  
  
• Lewis, Robert H. Mathematics: The Most Misunderstand Subject. July 2000. Internet.
  
  
• MacLane, Saunders. Mathematical Models: A Sketch for the Philosophy of Mathematics. American Mathematical Monthly 88, pp. 462-472, 1981.
  
  
• MacLane, Saunders. Mathematics, Form and Function. Springer-Verlag, 1986.
  
  
• MacLane, Saunders. The Protean Character of Mathematics. p. 3-13 in The Space of Mathematics: Philosophical, Epistemological and Historical Explorations, J. Echeverria, A. Ibarra and T. Mormann (eds.), De Gruyter, 1992.
  
  
• Poincaré, Henri. La Ciencia y la Hipótesis. Espasa Libros, 2002.
  
  
• Russell, Bertrand. Principios de la Matemática. Círculo de Lectores, 1996.
  
  
• Stewart, Ian. De aquí al infinito: las matemáticas de hoy. Crítica, 2004.
  
  
• Stewart, Ian. The Problems of Mathematics. Oxford University Press, 1987.
  
  
• Stone, Marshall. The Revolution in Mathematics. American Mathematical Monthly 68, pp. 715-734, 1961.
  
  
• Weil, André. The Future of Mathematics. American Mathematical Monthly 57, 295-306, 1950.